Question

（2014?东昌区二模）如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，PA=AB=BC=AC，E是PC的中点．

（2014?东昌区二模）如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，PA=AB=BC=AC，E是PC的中点．（1）求证：PD⊥平面ABE；（2）求二面角A-PD-C的平面角的正弦值．

Answer 1

证明：（1）∵PA⊥底面ABCD，CD?底面ABCD，
∴CD⊥PA
又CD⊥AC，PA∩AC=A，PA，AC?面PAC
故CD⊥面PAC
又∵AE?面PAC，
故CD⊥AE…（4分）
又PA=AC，E是PC的中点，故AE⊥PC
∵CD∩PC=C，CD，PC?面PCD
从而AE⊥面PCD，
∵PD?面PCD
故AE⊥PD
易知BA⊥PD，
故PD⊥面ABE…（6分）
（2）如图建立空间直角坐标系，设AC=a，
则A（0，0，0）、P（0，0，a）、B（a，0，0）、D(0，

2a

3

，0)，C(

a

2

，

3 a

2

，0)，
从而

PD

＝(0，

2a

3

，?a)，

DC

＝(

a

2

，?

3 a

6

，0)，…（9分）
设

n1

＝(x，y，z)为平面PDC的法向量，
则