Question

（1）探索：先观察并计算下列各式，在空白处填上“＞”、“＜”或“=”，并完成后面的问题．32+42______2

（1）探索：先观察并计算下列各式，在空白处填上“＞”、“＜”或“=”，并完成后面的问题．32+42______2×3×4，42+（-5）2______2×4×（-5），（-4）2+（-6）2______2×（-4）×（-6），72+72______2×7×7试用含有a，b的式子表示上述规律：______；（2）用（1）中的结论，解决下面的问题：已知实数a，b满足a≥0，b≥0，且a2-ab+b2=4①求ab的取值范围； ②令k=a2+ab+b2，求k的取值范围．

Answer 1

（1）3²+4²＞2×3×4，4²+（-5）²＞2×4×（-5），
（-4）²+（-6）²＞2×（-4）×（-6），7²+7²=2×7×7
试用含有a，b的式子表示上述规律：a²+b²≥2ab；
故答案为：＞，＞，＞，=，a²+b²≥2ab；

（2）①由a²-ab+b²=4得a²+b²=ab+4；
∵a²+b²≥2ab，∴ab+4≥2ab，
∴ab≤4（当a=b=2时等号成立），
又∵a≥0，b≥0，
∴ab≥0（当a=0，b=2或a=2，b=0时等号成立），
∴0≤ab≤4．
②k=a²+ab+b²=（a²+b²）+ab=ab+4+ab=2ab+4，
∵0≤ab≤4，∴4≤2ab+4≤12，
∴k的取值范围为：4≤k≤12．