Question

已知空间四边形ABCD中，E、H分别是AB、AD的中点，F、G分别是BC、CD上的点，且CFCB＝CGCD＝23．求证：（1

已知空间四边形ABCD中，E、H分别是AB、AD的中点，F、G分别是BC、CD上的点，且CFCB＝CGCD＝23．求证：（1）E、F、G、H四点共面；（2）三条直线EF、GH、AC交于一点．

Answer 1

证明：（1）在△ABD和△CBD中，
∵E、H分别是AB和AD的中点，∴EH

∥ .

.

1

2

BD
又∵

CF

CB

＝

CG

CD

＝

2

3

，∴FG

∥ .

.

2

3

BD．
∴EH∥FG
所以，E、F、G、H四点共面．
（2）由（1）可知，EH∥FG，且EH≠FG，即直线EF，GH是梯形的两腰，
所以它们的延长线必相交于一点P
∵AC是EF和GH分别所在平面ABC和平面ADC的交线，而点P是上述两平面的公共点，
∴由公理3知P∈AC．
所以，三条直线EF、GH、AC交于一点

Answer 2

已知空间四边形ABCD中，E、H分别是AB、AD的中点，F、G分别是BC、CD上的点，且CF/CB＝CG/CD＝2/3．求证：（1）E、F、G、H四点共面；（2）三条直线EF、GH、AC交于一点．(改题了)
解：（1）E、H分别是AB、AD的中点，
∴EH∥BD/2,
F、G分别是BC、CD上的点，且CF/CB＝CG/CD＝2/3,
∴FG∥=2BD/3,
∴EH∥FG,
∴E、F、G、H四点共面。
(2)设直线EF与AC交于点M,由梅涅劳斯定理，
CF/FB*BE/EA*AM/MC=1,
∴AM/MC=1/2,
同理，直线GH与AC的交点N满足AN/NC=1/2,
∴M、N重合，即EF、GH、AC交于一点。