Question

已知函数f（x）=4sin2x+2sin2x-2，x∈R．（1）求f（x）的最小正周期、f（x）的最大值及此时x的集合；（2

已知函数f（x）=4sin2x+2sin2x-2，x∈R．（1）求f（x）的最小正周期、f（x）的最大值及此时x的集合；（2）证明：函数f（x）的图象关于直线x＝?π8对称．

Answer 1

f（x）=4sin²x+2sin2x-2=2sinx-2（1-2sin²x）=2sin2x?2cos2x＝2

2

sin(2x?

π

4

)
（1）所以f（x）的最小正周期T=π，
因为x∈R，所以，
当2x?

π

4

＝2kπ+

π

2

，即x＝kπ+

3π

8

时，f（x）最大值为2

2

；
（2）证明：欲证明函数f（x）的图象关于直线x＝?

π

8

对称，只要证明对任意x∈R，有f(?

π

8

?x)＝f(?

π

8

+x)成立，
因为f(?

π

8

?x)＝2

2

sin[2(?

π

8

?x)?

π

4

]＝2

2

sin(?

π

2

?2x)＝?2

2

cos2x，f(?

π

8

+x)＝2

2

sin[2(?

π

8

+x)?

π

4

]＝2

2

sin(?

π

2

+2x)＝?2

2

cos2x，
所以f(?

π

8

?x)＝f(?

π

8

+x)成立，从而函数f（x）的图象关于直线x＝?

π

8

对称．