Question

已知函数f(x)＝1+ax2x+b(a≠0)是奇函数，并且函数f（x）的图象经过点（1，3）（1）求实数a，b的值；（2）

已知函数f(x)＝1+ax2x+b(a≠0)是奇函数，并且函数f（x）的图象经过点（1，3）（1）求实数a，b的值；（2）当x＞0时，求出函数f（x）的递增区间，并用定义进行证明；（3）求函数f（x）当x＞0时的值域．

Answer 1

（1）∵f（x）=

1+ax2

x+b

(a≠0)是奇函数，
∴f（-x）+f（x）=

1+a?(?x)2

?x+b

+

1+ax2

x+b

=（1+ax²）?

2b

(x+b)(?x+b)

=0，
∴b=0；
∴f（x）=

1+ax2

x

(a≠0)，又f（x）的图象经过点（1，3），
∴

1+a

1

=3，
∴a=2；
∴f（x）=2x+

1

x

；
（2）当x＞0时，f（x）=2x+

1

x

在[

2

2

，+∞）上单调递增．
证明：令

2

2

≤x₁＜x₂，
则f（x₂）-f（x₁）=2（x₂-x₁）+（

1

x2

-

1

x1

）=（x₂-x₁）（2-

1

x1?x2

），
∵

2

2

≤x₁＜x₂，
∴0＜

1

x1?x2

＜2，于是2-

1

x1?x2

＞0，
∴（x₂-x₁）（2-

1

x1?x2

）＞0，
∴f（x₂）＞f（x₁）．
∴当x＞0时，f（x）=2x+

1

x

在[

2

2

，+∞）上单调递增．
（3）∵f（x）=2x+

1

x

（x＞0），
∴f′（x）=2-

1

x2

，由f′（x）≥0可得x≥

2

2

，由f′（x）＜0可得0＜x＜

2

2

，
∴f（x）=2x+

1

x

在[

2

2

，+∞）上单调递增，在（0，

2

2

]上单调递减．
∴f（x）=2x+

1

x

在x=

2

2

处取到最小值2

2

，
∴当x＞0时f（x）=2x+

1

x

的值域为：[2

2

，+∞）．