Question

证明反三角函数公式arctanA-arctanB=arctan(A-B)/1+AB，arctanA

证明反三角函数公式arctanA-arctanB=arctan(A-B)/1+AB，arctanA+arctanB=arctan(A+B)/1-AB

Answer 1

证明过程如下：

a=arctanA b=arctanB tan(a)=A tan(b)=B。

tan(a-b)=tan(a)-tan(b)/(1+tan(a)tan(b))=(A-B)/(1+AB)。

a-b=arctan((A-B)/(1+AB))。

arctanA-arctanB=arctan((A-B)/(1+AB))。

同理tan(a+b)=tan(a)+tan(b)/(1-tan(a)tan(b))=(A+B)/(1-AB)。

a+b=arctan((A+B)/(1-AB))。

arctanA+arctanB=arctan((A+B)/(1-AB))。

相关定义

反三角函数是一种基本初等函数。它是反正弦arcsin x，反余弦arccos x，反正切arctan x，反余切arccot x，反正割arcsec x，反余割arccsc x这些函数的统称，各自表示其正弦、余弦、正切、余切 ，正割，余割为x的角。

三角函数的反函数是个多值函数，因为它并不满足一个自变量对应一个函数值的要求，其图像与其原函数关于函数 y=x 对称。欧拉提出反三角函数的概念，并且首先使用了“arc+函数名”的形式表示反三角函数。

Answer 2

a=arctanA b=arctanB tan(a)=A tan(b)=B
tan(a-b)=tan(a)-tan(b)/(1+tan(a)tan(b))=(A-B)/(1+AB)
a-b=arctan((A-B)/(1+AB))
arctanA-arctanB=arctan((A-B)/(1+AB))
同理tan(a+b)=tan(a)+tan(b)/(1-tan(a)tan(b))=(A+B)/(1-AB)
a+b=arctan((A+B)/(1-AB))
arctanA+arctanB=arctan((A+B)/(1-AB))