已知抛物线C:x2=4y的焦点为F,过点F作直线l交抛物线C于A、B两点;椭圆E的中心在原点,焦点在x轴上,点F

已知抛物线C:x2=4y的焦点为F,过点F作直线l交抛物线C于A、B两点;椭圆E的中心在原点,焦点在x轴上,点F是它的一个顶点,且其离心率e=32.(1)求椭圆E的方程;... 已知抛物线C:x2=4y的焦点为F,过点F作直线l交抛物线C于A、B两点;椭圆E的中心在原点,焦点在x轴上,点F是它的一个顶点,且其离心率e=32.(1)求椭圆E的方程;(2)经过A、B两点分别作抛物线C的切线l1、l2,切线l1与l2相交于点M.证明:点M定在直线y=-1上;(3)椭圆E上是否存在一点M′,经过点M′作抛物线C的两条切线M′A′、M′B′(A′、B′为切点),使得直线A′B′过点F?若存在,求出切线M′A′、M′B′的方程;若不存在,试说明理由. 展开
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█花仔1013
2014-11-08 · 超过70用户采纳过TA的回答
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(1)设椭圆E的方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1
,半焦距为c.
由已知条件,F(0,1),∴b=1,e=
c
a
3
2
,a2=b2+c2
解得a=2,b=1.所以椭E的方程为
x2
4
+y2=1
.…(3分)
(2)显然直线l的斜率存在,否则直线l与抛物线C只有一个交点,不合题意,
故可设直线l的方程为y=kx+1,A(x1,y1)B(x2,y2)(x1≠x2
与抛物线方程联立,消去y,并整理得,x2-4kx-4=0
∴x1x2=-4.…(5分)
∵抛物线的方程为y=
1
4
x2,求导得y′=
1
2
x,
∴过抛物线上A,B两点的切线方程分别是
y-y1=
1
2
x1(x-x1),y-y2=
1
2
x2(x-x2
即y=
1
2
x1x-
1
4
x12,y=
1
2
x2x-
1
4
x22
解得两条切线的交点M的坐标为(
x1+x2
2
,-1),
∴点M在直线y=-1上..…(8分)
(3)假设存在点M′满足题意,由(2)知点M′必在直线y=-1上,又直线y=-1与椭圆有唯一交点,故M′的坐标为(0.-1),
设过点M′且与抛物线C相切的切线方程为y-y0=
1
2
x0(x-x0),其中点(x0,y0)为切点.
令x=0,y=-1得,-1-
1
4
x02=
1
2
x0(0-x0),解得x0=2或x0=-2,
故不妨取A′(-2,1)B′(2,1),即直线A′B′过点F.
综上所述,椭圆E上存在一点M′(0,-1),经过点M′作抛物线C的两条切线M′A′、M′B′(A′、B′为切点),能使直线A′B′过点F.
此时,两切线的方程分别为y=-x-1和y=x-1.…(13分)
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