Question

如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于O点，点P是线段AD上一动点（不与点D重合），PO的延长线交BC于Q点．

如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于O点，点P是线段AD上一动点（不与点D重合），PO的延长线交BC于Q点．（1）求证：四边形PBQD为平行四边形．（2）若AB=3cm，AD=4cm，P从点A出发．以1cm/秒的速度向点D匀速运动．设点P运动时间为t秒，问四边形PBQD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由．

Answer 1

(1)证明：见下图。在△AOP和△COQ中，因为矩形ABCD，所以，AO=CO,   BO=DO...(i);∠PAO=∠QCO,    ∠AOP=∠COQ(对顶角）；则△AOP≌△COQ（角边角）所以，OP=OQ(对应边)，结合（i），有PQ和BD互相平分；所以四边形PBQD为平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。证毕。

（2）依题意：PD=√(AP^2+AC^2)=√(t^2+3^3)=(4-t);

方程两边同时平方，得：t^2+9=16-8t+t^2;解得：t=7/8(S)时，四边形PBQD为菱形。

Answer 2

（1）证明：如图，∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，OD=OB，
∴∠PDO=∠QOB，
在△POD与△QOB中，

∠PDO＝∠QBO OD＝OB ∠POD＝∠QOB

，
∴△POD≌△QOB（ASA），
∴OP=OQ，
∴四边形PBQD为平行四边形；

（2）点P从点A出发运动t秒时，AP=tcm，PD=（4-t）cm．
当四边形PBQD是菱形时，PB=PD=（4-t）cm．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAP=90°，
∴在直角△ABP中，AB=3cm，AP²+AB²=PB²，即t²+3²=（4-t）²，
解得：t=

7

8

，
∴点P运动时间为

7

8

秒时，四边形PBQD能够成为菱形．