Question

已知函数f（x）=x 2 +ax+b（1）若对任意的实数x都有f （1+x）=f （1-x） 成立，求实数 a的值；（2）若f（

已知函数f（x）=x 2 +ax+b（1）若对任意的实数x都有f （1+x）=f （1-x） 成立，求实数 a的值；（2）若f（x）为偶函数，求实数a的值；（3）若f（x）在[1，+∞）内递增，求实数a的范围．

Answer 1

（1）∵f（1+x）=f（1-x） ∴y=f（x）的图象关于直线x=1对称 ∴ - a 2 =1 即a=-2 （2）∵f（x）为偶函数， ∴f（-x）=f（x）对于一切实数x恒成立 即（-x） 2 +a（-x）+b=x 2 +ax+b ∴2ax=0 ∴a=0 （3）∵f（x）在[1，+∞）内递增 ∴ - a 2 ≤1 ∴a≥-2 即实数a的范围为[-2，+∞）

Answer 2

用等效替代法
因为对任意实数都成立
又因为F[1+X]=F[1-X]
所以令x=1，即F(2)=F(0)
带入F[X]=X2+AX+B化简得
4+2A+B=B
所以A=-2