Question

已知圆C经过点A（﹣2，0），B（0，2），且圆心在直线y=x上，且，又直线l：y=kx+1与圆C相交于P、Q两点．

已知圆C经过点A（﹣2，0），B（0，2），且圆心在直线y=x上，且，又直线l：y=kx+1与圆C相交于P、Q两点． （I）求圆C的方程； （II）若 ，求实数k的值；（III）过点（0，1）作直线l 1 与l垂直，且直线l 1 与圆C交于M、N两点，求四边形PMQN面积的最大值．

Answer 1

解：（I）设圆心C（a，a），半径为r． 因为圆经过点A（﹣2，0），B（0，2），所以|AC|=|BC|=r， 所以 解得a=0，r=2， 所以圆C的方程是x 2 +y 2 =4． （II）因为 ， 所以 ，∠POQ=120°， 所以圆心到直线l：kx﹣y+1=0的距离d=1， 又 ，所以k=0。 （III）设圆心O到直线l，l 1 的距离分别为d，d 1 ，四边形PMQN的面积为S． 因为直线l，l 1 都经过点（0，1），且l⊥l 1 ，根据勾股定理，有 ， 又根据垂径定理和勾股定理得到， ， 而 ，即 当且仅当d 1 =d时，等号成立，所以S的最大值为7．