Question

已知函数f(x)=x 2 +2x+alnx(a∈R)，(1)当a=-4时，求f(x)的最小值；(2)若函数f(x)在区间(0，1)上为单调函

已知函数f(x)=x 2 +2x+alnx(a∈R)，(1)当a=-4时，求f(x)的最小值；(2)若函数f(x)在区间(0，1)上为单调函数，求实数a的取值范围；(3)当t≥1时，不等式f(2t-1)≥2f(t)-3恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

解：(1)f(x)=x 2 +2x-41nx(x＞0)，f′(x)=2x+2- ， 当x＞1时，f′(x)＞0，当0＜x＜1时，f′(x)＜0， ∴f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增， ∴f(x) min =f(1)=3． (2) ， 若f(x)在(0，1)上单调递增，则2x 2 +2x+a≥0在x∈(0，1)上恒成立 在x∈(0，1)上恒成立， 令u=-2x 2 -2x，x∈(0，1)，则 ， ， ∴a≥0； 若f(x)在(0，1)上单调递减，则2x 2 +2x+a≤0在x∈(0，1)上恒成立 ； 综上，a的取值范围是(-∞，-4]∪[0，+∞)． (3)(2t-1) 2 +2(2t-1)+aln(2t-1)≥2t 2 +4t+2alnt-3恒成立， a[ln(2t-1)-21nt]≥-2t 2 +4t-2 a[ln(2t-1)-lnt 2 ]≥2[(2t-1)-t 2 ]， 当t=1时，不等式显然成立； 当t＞1时，t 2 -(2t-1)=t 2 -2t+1=(t-1) 2 ＞0 t 2 ＞2t-1 lnt 2 ＞ln(2t-1) 在t＞1时恒成立， 令 ，即求u的最小值， 设A(t 2 ，lnt 2 )，B(2t-1，ln(2t-1))， ， 且A、B两点在y=lnx的图象上， 又∵t 2 ＞1，2t-1＞1， 故0＜k AB ＜ ， ∴ ，故a≤2， 即实数a的取值范围为(-∞，2]。