Question

在数列{an}中，a1=1，数列{an}的前n项和Sn满足nSn+1-（n+3）Sn=0．（Ⅰ）求a2；（Ⅱ）求an；（Ⅲ）若bn=

在数列{an}中，a1=1，数列{an}的前n项和Sn满足nSn+1-（n+3）Sn=0．（Ⅰ）求a2；（Ⅱ）求an；（Ⅲ）若bn=（n+1）2（n∈N），Tn=（-1）a1b1+（-1）a2b2+…+（-1）anbn，n∈N，求Tn．

Answer 1

（Ⅰ）S₁=4，∴a₂=3．
  （Ⅱ）∵nS_n+1=（n+3）S_n…①∴当n≥2时，有（n-1）S_n=（n+2）S_n-1…②
①-②有na_n+1=（n+2）a_n（n≥2），
∴2a3=4a₂，3a₄=5a₃，…（n-1）a_n=（n+1）a_n+1（n≥3）
将以上各式左右两端分别相乘，得（n-1）a_n=

(n+1)!

6

a₂，，∴a_n=

n(n+1)

2

，n≥3，
当n=1，2时也成立，∴a_n=

n(n+1)

2

（n∈N⁺）．
   （Ⅲ）∵b_n=（n+1）²（n∈N），∴T_n=（-1）^a₁b₁+（-1）^a₂b₂+…+（-1）^a_nb_n=-2²-3²+…+(?1)

n(n+1)

2

（n+1）²，
当n=4k，k∈N⁺时，T_n=-2²-3²+4²+5²+…-（4k-2）²-（4k-1）²+（4k）²+（4k+1）²
∵-（4k-2）²-（4k-1）²+（4k）²+（4k+1）²=32k-4
∴T_n=32（1+2+3+…+k）-4k=（4k）²+12k=n²+3n
当，k∈N⁺时，T_n=（4k）²+3×4k-（4k+1）²=4k-1=n
当，k∈N⁺时，T_n=（4k）²+3×4k-（4k+1）²-（4k）²=4k-1-（4k）²=-n²-3n-3

当n=4k-3，k∈N⁺时，，T_n=（4k）²+3×4k-（4k+1）²+（4k-1）²=-4k=-n-3
∴T_n=

?n?3             n＝4k?3 ?n2?3n?3       n＝4k?2 n                   n＝4k?1 n2+3n           n＝4k