Question

已知定义域为R的函数f(x)＝?2x+b2x+1+a是奇函数．（1）求f（x）的解析式；（2）用定义证明f（x）为R上的

已知定义域为R的函数f(x)＝?2x+b2x+1+a是奇函数．（1）求f（x）的解析式；（2）用定义证明f（x）为R上的减函数；（3）若对任意的t∈[-1，1]，不等式f（2k-4t）+f（3?2t-k-1）＜0恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

（1）由f（0）=0得b=1，由f（-1）=-f（1）得a=2．
∴f(x)＝

?2x+1

2x+1+2

；
（2）设x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）=

?2x1+1

2x1+1+2

-

?2x2+1

2x2+1+2

=(

1

2x1+1

?

1

2

)?(

1

2x2+1

?

1

2

)
=

1

2x1+1

?

1

2x2+1

＝

2x2?2x1

(2x1+1)(2x2+1)

＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）为R上的减函数；
（3）由函数f（x）为奇函数，得f（2k-4^t）+f（3?2^t-k-1）＜0?f（2k-4^t）＜f（k+1-3?2^t），
∵f（x）为R上的减函数，
∴2k-4^t＞k+1-3?2^t，
∴k＞4t?3?2t+1＝(2t?

3

2

)2?

5

4

，
对任意的t∈[-1，1]，不等式f（2k-4^t）+f（3?2^t-k-1）＜0恒成立，等价于k＞(2t?

3

2

)2?

5

4

的最大值，
∵t∈[-1，1]，∴2t∈[

1

2

，2]，
∴当2t＝

1

2

时，4t?3?2t+1＝(2t?

3

2

)