Question

2013年12月14日“嫦娥三号”探测器成功实现了月球表面软着陆．“嫦娥三号”着陆前，先在距月球表面高度为

2013年12月14日“嫦娥三号”探测器成功实现了月球表面软着陆．“嫦娥三号”着陆前，先在距月球表面高度为h的圆轨道上运行，经过变轨进入远月点高度为h、近月点高度椭圆可忽略不计的椭圆轨道上运行，为下一步在月球表面软着陆做准备．已知月球半径为R，月球质量为M，不考虑月球的自转，求：（1）月球表面的重力加速度；（2）“嫦娥三号”在距月球表面高度为h的圆轨道上运行的线速度大小；（3）“嫦娥三号”在椭圆轨道上运行的周期T．（提示：开普勒第三定律a3T2=k，a为椭圆半长轴，k为常数．）

Answer 1

（1）根据万有引力定律，不考虑月球的自转
有      mg=G

Mm

R2

可得    g=

GM

R2

（2）对圆轨道，由牛顿第二定律和万有引力定律
G

Mm

(R+h)2

＝m

v2

R+h

解得    v=

GM R+h

（3）对椭圆轨道，由开普勒第三定律，
有     

(R+ h 2 )3

T2

＝k 
对圆轨道G

Mm

(R+h)2

＝m

4π2

T02

(R+h) 
则       k=

(R+h)3

T02

＝

GM

4π2

解得    T=π（2R+h）

2R+h GM

答：（1）月球表面的重力加速度为

GM

R2

；
（2）“嫦娥三号”在距月球表面高度为h的圆轨道上运行的线速度大小为

GM R+h

；
（3）“嫦娥三号”在椭圆轨道上运行的周期T为π（2R+h）

2R+h GM

．