Question

已知函数f(x)＝sin2x+cos(2x?π6)，（1）求函数f（x）的最小正周期和单调减区间．（2）求函数f（x）在区

已知函数f(x)＝sin2x+cos(2x?π6)，（1）求函数f（x）的最小正周期和单调减区间．（2）求函数f（x）在区间[0，π2]上的最大值和最小值以及相应的x的值．

Answer 1

（1）f(x)＝sin2x+cos(2x?

π

6

)
=sin2x+cos2xcos

π

6

+sin2xsin

π

6

＝

3

2

sin2x+

3

2

cos2x
=

3

(

3

2

sin2x+

1

2

cos2x)＝

3

sin(2x+

π

6

)…（4分）
∴最小正周期T＝

2π

2

＝π，…（5分）
减区间：2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z
解得2kπ+

π

3

≤2x≤2kπ+

4π

3

，k∈Z
所以单调减区间为[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

](k∈Z)…（7分）
（2）∵0≤x≤

π

2

，
∴

π

6

≤2x+

π

6

≤

7π

6

，…（9分）
∵f(x)＝

3

sin(2x+

π

6

)，
当2x+

π

6

=

7π

6

，即x=

π

2

时，函数有最小值-

3

2

，
当2x+

π

6

=

π

2

，即x=

π

6

时，函数有最大值

3

．…（13分）