Question

如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、B的坐标分别为（4，0），（4，3），动点M，N分别从点

如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、B的坐标分别为（4，0），（4，3），动点M，N分别从点O，B同时出发，以每秒1个单位的速度运动，其中点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动，过点N作NP⊥BC，交AC于点P，连接MP，设两动点运动时间为t秒．（1）求出当t=1秒时点P的坐标；（2）当t为何值时，△MPA的面积为1.5；（3）当△MPA为等腰三角形时，求出此时两动点运动的时间．

Answer 1

（1）∵四边形OABC为矩形，
∴∠ABC=∠AOC=90°，OA=BC，AB=OC．
∵A、B的坐标分别为（4，0），（4，3），
∴OA=BC=4，AB=OC=3．
∴tan∠ACB=tan∠OAC=

PN

CN

=

3

4

．
当t=1时，BN=1，
∴CN=3，
∴

PN

3

＝

3

4

，
∴PN=

9

4

，
∴P（3，

3

4

）；

（2）∵AM=4-t，PE=

3

4

t，
∴

1

2

（4-t）?

3

4

t=1.5，
∴t=2；

（3）延长NP交OA于点E，
∵NP⊥BC，
∴NP⊥OA．
如图2，当PM=PA时，
∴AE=ME=NP．
∵OM=NP，
∴OM=ME=AE，
∴OM=

1

3

OA，
∴OM=

4

3

，
∴t=

4

3

÷1=

4

3

秒；
如图3，当AP=AM时，
∴PE=

3

4

t，
在Rt△APE中，由勾股定理得：
PA=

5

4

t，
AM=4-t，
∴

5

4

t=4-t，
解得：t=

16

9

；
如图4，当PM=AM时，
PE=

3

4

t，OE=4-t，OM=t，AM=4-t
∴ME=2t-4，在Rt△PEM中，由勾股定理，得
PM²=（2t-4）²+（

3

4

t）²，
∴，（2t-4）²+（

3

4

t）²=（4-t）²，
解得：t₁=0（舍去），t₂=

128

57

，
综上所述：当t=

4

3

，

16

9

或

128

57

时，△MPA为等腰三角形．