Question

已知函数g（x）=1xsinθ+lnx在[1，+∞）上为增函数，且θ∈（0，π），f（x）=mx-m?1x-lnx（m∈R）．（Ⅰ

已知函数g（x）=1xsinθ+lnx在[1，+∞）上为增函数，且θ∈（0，π），f（x）=mx-m?1x-lnx（m∈R）．（Ⅰ）求θ的值；（Ⅱ）若f（x）-g（x）在[1，+∞）上为单调函数，求m的取值范围；（Ⅲ）设h（x）=2ex，若在[1，e]上至少存在一个x0，使得f（x0）-g（x0）＞h（x0）成立，求m的取值范围．

Answer 1

（1）由题意，g′(x)＝?

1

sinθ?x2

+

1

x

≥0在[1，+∞）上恒成立，即

sinθ?x?1

sinθ?x2

≥0．
∵θ∈（0，π），∴sinθ＞0．故sinθ?x-1≥0在[1，+∞）上恒成立，只须sinθ?1-1≥0，
即sinθ≥1，只有sinθ=1．结合θ∈（0，π），得θ＝

π

2

．
（2）由（1），得f（x）-g（x）=mx?

m

x

?2lnx．
∴(f(x)?g(x))′＝

mx2?2x+m

x2

．
∵f（x）-g（x）在其定义域内为单调函数，
∴mx²-2x+m≥0或者mx²-2x+m≤0在[1，+∞）恒成立．mx²-2x+m≥0等价于m（1+x²）≥2x，即m≥

2x

1+x2

，
而

2x

x2+1

＝

2

x+ 1 x

，（

2

x+ 1 x

）_max=1，∴m≥1．mx²-2x+m≤0等价于m（1+x²）≤2x，即m≤

2x

1+x2

在[1，+∞）恒成立，而

2x

x2+1

∈（0，1]，m≤0．
综上，m的取值范围是（-∞，0]∪[1，+∞）．
（3）构造F（x）=f（x）-g（x）-h（x），F(x)＝mx?

m

x

?2lnx?

2e

x

．
当m≤0时，x∈[1，e]，mx?

m

x

≤0，?2lnx?

2e

x

＜0，
所以在[1，e]上不存在一个x₀，使得f（x₀）-g（x₀）＞h（x₀）成立．
当m＞0时，(F(x))′＝m+

m

x2

?

2

x

+

2e

x2

＝

mx2?2x+m+2e

x2

．
因为x∈[1，e]，所以2e-2x≥0，mx²+m＞0，
所以（F（x））'＞0在x∈[1，e]恒成立．
故F（x）在[1，e]上单调递增，F(x)max＝F(e)＝me?

m

e

?4，只要me?

m

e

?4＞0，
解得m＞

4e

e2?1

．
故m的取值范围是(

4e

e2?1

，+∞)．