Question

用罗尔定理证明 证明：不管b取何值，方程x三次方-3x+b=0在闭区间-1，1上至多有一个实根

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Answer 1

用反证法，假设x^3-3x+b=0在[-1,1]上有两个根（或多于两个），令f(x)=x^3-3x+b，则存在x1和x2属于[-1,1]，使得f(x1)=f(x2)=0，根据罗尔定理，知存在ξ属于(-1,1)，使得f'(ξ)=3ξ^2-3=0，解得ξ=±1，但ξ不属于(-1,1)，矛盾，因此假设不成立（多于两根的情况同理）。