（2005?卢湾区模拟）如图所示，由粗细均匀的电阻丝绕成的矩形导线框abcd固定于水平面上，导线框边长ab=L
（2005?卢湾区模拟）如图所示，由粗细均匀的电阻丝绕成的矩形导线框abcd固定于水平面上，导线框边长ab=L，bc=2L，整个线框处于竖直方向的匀强磁场中，磁场的磁感强...
（2005?卢湾区模拟）如图所示，由粗细均匀的电阻丝绕成的矩形导线框abcd固定于水平面上，导线框边长ab=L，bc=2L，整个线框处于竖直方向的匀强磁场中，磁场的磁感强度为B．导线框上各段导线的电阻与其长度成正比，已知该种电阻丝单位长度上的电阻为λ，λ的单位是Ω/m．今在导线框上搁置一个与ab边平行地且与导线框接触良好的金属棒MN，MN的电阻为r，其材料与导线框的材料不同，如图所示．金属棒MN在外力作用下沿x轴正方向作速度为v的匀速运动，在金属棒从导线框最左端（该处x=0）运动到导线框最右端的过程中：（1）请写出金属棒中的感应电流I随x变化的函数关系式；（2）试证明当金属棒运动到bc段中点时，MN两点间电压最大，并请写出最大电压Um的表达式；（3）试求出在此过程中，金属棒提供的最大电功率Pm；（4）试讨论在此过程中，导线框上消耗的电功率可能的变化情况．
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（1）MN产生的感应电动势 ?=BLv
由闭合电路欧姆定律得：I=
=
=
（2）M、N两点间电压U=?-Ir，当外电路电阻最大时，I最小，U有最大值Um．
外电路总电阻R=
，
由数学知识得知：当L+2x=5L-2x，即x=L时，R有最大值
∴x=L时，即金属棒在bc中点时M、N两点间电压有最大值，得证．
最大电压为 Um=IR=
（3）当R=rL时，MN的总功率最大，
Pm=
=
=
（4）外电路电阻最小值为 Rmin=λ
=
Lλ，最大值为 Rmax=λ
=
Lλ
当r＜Rmin，即r＜
Lλ时，导线框上消耗的电功率先变小，后变大；
当Rmin＜r＜Rmax，即
Lλ＜r＜
Lλ时，导线框上消耗的电功率先变大，后变小，再变大，再变小；
当r＞Rmax，即r＞
Lλ时，导线框上消耗的电功率先变大，后变小．
答：
（1）请写出金属棒中的感应电流I随x变化的函数关系式I=
；
（2）证明见上．最大电压Um的表达式为Um=
；
（3）金属棒提供的最大电功率为
由闭合电路欧姆定律得：I=
| ? |
| r+R |
| BLv | ||
r+
|
| 6BL2v |
| 6Lr+λ(L+2x)(5L?2x) |
（2）M、N两点间电压U=?-Ir，当外电路电阻最大时，I最小，U有最大值Um．
外电路总电阻R=
| λ(L+2x)(5L?2x) |
| 6L |
由数学知识得知：当L+2x=5L-2x，即x=L时，R有最大值
∴x=L时，即金属棒在bc中点时M、N两点间电压有最大值，得证．
最大电压为 Um=IR=
| 3BL2vλ |
| 2r+3λL |
（3）当R=rL时，MN的总功率最大，
Pm=
| ?2 | ||
|
| 6?2 |
| 5Lλ+6r |
| 6(BLv)2 |
| 5Lλ+6r |
（4）外电路电阻最小值为 Rmin=λ
| L?5L |
| L+5L |
| 5 |
| 6 |
| 3L?3L |
| 3L+3L |
| 3 |
| 2 |
当r＜Rmin，即r＜
| 5 |
| 6 |
当Rmin＜r＜Rmax，即
| 5 |
| 6 |
| 3 |
| 2 |
当r＞Rmax，即r＞
| 3 |
| 2 |
答：
（1）请写出金属棒中的感应电流I随x变化的函数关系式I=
| 6BL2v |
| 6Lr+λ(L+2x)(5L?2x) |
（2）证明见上．最大电压Um的表达式为Um=
| 3BL2vλ |
| 2r+3λL |
（3）金属棒提供的最大电功率为
6?
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