Question

如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，且点G在矩形ABCD内部，将BG延长交DC于点F

如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，且点G在矩形ABCD内部，将BG延长交DC于点F。 （1）若DC=2DF时，请直接写出 的值；（2）若DC=3DF时，请直接写出 的值；（3）则若DC=nDF时，猜测 的值，并请证明。

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Answer 1

解：（1）连接EF，则根据翻折不变性得， ∠EGF=∠D=90°，EG=AE=ED，EF=EF， ∴Rt△EGF≌Rt△EDF， ∴GF=DF；设DF=x，BC=y，则有GF=x，AD=y ∵DC=2DF， ∴CF=x，DC=AB=BG=2x， ∴BF=BG+GF=3x； 在Rt△BCF中，BC 2 +CF 2 =BF 2 ， 即y 2 +x 2 =（3x） 2 ∴y=2  ，   （2） ； （3）由（1）知，GF=DF， 设DF=x，BC=y，则有GF=x，AD=y ∵DC=n?DF， ∴BF=BG+GF=（n+1）x 在Rt△BCF中，BC 2 +CF 2 =BF 2 ， 即y 2 +[（n-1）x] 2 =[（n+1）x] 2 ∴y=2x ，