Question

若点P是曲线y=x 2 -lnx上任意一点，则点P到直线y=x-2的最小距离为 ______

若点P是曲线y=x 2 -lnx上任意一点，则点P到直线y=x-2的最小距离为 ______．

Answer 1

点P是曲线y=x 2 -lnx上任意一点， 当过点P的切线和直线y=x-2平行时， 点P到直线y=x-2的距离最小． 直线y=x-2的斜率等于1， 令y=x 2 -lnx的导数 y′=2x- 1 x =1，x=1，或 x=- 1 2 （舍去）， 故曲线y=x 2 -lnx上和直线y=x-2平行的切线经过的切点坐标（1，1）， 点（1，1）到直线y=x-2的距离等于 2 ， 故点P到直线y=x-2的最小距离为 2 ， 故答案为 2 ．

Answer 2

曲线上P(x,y)点的切线斜率是
k=y'=2x-1/x
它应与直线y=x-2平行,(k1=1)
就是
2x-1/x=1
可解得
x1=-1/2,
x2=1
(负值舍去)
y=1
曲线与直线y=x-2距离最短的点是
P(1,
1)
P到直线的距离可用公式
|1-1-2|/√2=√2