Question

已知数列{an}满足：a1=6，an+1=n+2nan+（n+1）（n+2）．（1）若dn=ann(n+1)，求数列{dn}的通项公式；（2

已知数列{an}满足：a1=6，an+1=n+2nan+（n+1）（n+2）．（1）若dn=ann(n+1)，求数列{dn}的通项公式；（2）若bn=an(n+1)(n+2)?2n+1，记数列{bn}的前n项和为Tn，求Tn．

Answer 1

（1）∵数列{a_n}满足：a₁=6，a_n+1=

n+2

n

a_n+（n+1）（n+2），
∴等式两边同除（n+1）（n+2），得：

an+1

(n+1)(n+2)

＝

an

n(n+1)

+1，
又

a1

1×2

＝3，∴{

an

n(n+1)

}是首项为3、公差为1的等差数列，
∴d_n=

an

n(n+1)

=3+（n-1）=n+2．
（2）由（1）得a_n=n（n+1）（n+2），
∴b_n=

an

(n+1)(n+2)

?2n+1=n?2ⁿ⁺¹，
∴T_n=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+n×2ⁿ⁺¹，①
2T_n=1×2³+2×2⁴+3×2⁵+…+n×2ⁿ⁺²，②
①-②，得-T_n=2²+2³+2⁴+2⁵+…+2ⁿ⁺¹-n×2ⁿ⁺²
=

4(1?2n)

1?2

?n×2n+2
=2ⁿ⁺²-4-n×2n+2 ，
=-4-（n-1）×2ⁿ⁺²，
∴Tn =（n-1）?2ⁿ⁺²+4．