Question

已知数列{a n }的各项均为正数，前n项和为S n ，且满足2S n =a 2 n +n-4。（1）求证{a n }为等差数列；

已知数列{a n }的各项均为正数，前n项和为S n ，且满足2S n =a 2 n +n-4。（1）求证{a n }为等差数列；（2）求{a n }的通项公式。

Answer 1

解：（1）当n=1时，有2a 1 =a+1-4，即a 2 1 -2a 1 -3=0， 解得a 1 =3（a 1 =-1舍去） 当n≥2时，有2S n-1 =a 2 n-1 +n-5， 又2S n =a 2 n +n-4， 两式相减得2a n =a 2 n -a 2 n-1 +1， 即a 2 n -2a n +1=a 2 n-1 ， 也即（a n -1） 2 =a 2 n-1 ， 因此a n -1=a n-1 或a n -1=-a n-1 若a n -1=-a n-1 ，则a n +a n-1 =1，而a 1 =3， 所以a 2 =-2，这与数列{a n }的各项均为正数相矛盾， 所以a n -1=a n-1 ，即a n -a n-1 =1， 因此{a n }为等差数列 （2）由（1）知a 1 =3，d=1， 所以数列{a n }的通项公式a n =3+（n-1）=n+2， 即a n =n+2。