Question

已知函数f（x）=sinx-cosx，f′（x）是f（x）的导函数，求函数t（x）=2f（x）f′（x-1）的值域和对称轴

已知函数f（x）=sinx-cosx，f′（x）是f（x）的导函数，求函数t（x）=2f（x）f′（x-1）的值域和对称轴．

Answer 1

∵函数f（x）=sinx-cosx，∴f′（x）=cosx+sinx，f′（x-1）=cos（x-1）+sin（x-1）．
故函数t（x）=2f（x）f′（x-1）=（2sinx-2cosx）[cos（x-1）+sin（x-1）]=2sinxcos（x-1）+2sinssin（x-1）-2cosxcos（x-1）-2cosxsin（x-1）
=2sin[x-（x-1）]-2cos[x+（x-1）]=2sin1-2cos（2x-1）．
∵-1≤cos（2x-1）≤1，∴2sin1-2≤2sin1-2cos（2x-1）≤2sin1+2，∴函数的值域为[2sin1-2 2sin1+2]．
令2x-1=kπ，k∈z，可得 x=

kπ+1

2

，k∈z，故对称轴为  x=

kπ+1

2

，k∈z．