Question

已知函数f（x）=ex+ax（1）当-e＜a≤0时，证明：对于任意x∈R，f（x）＞0成立；（2）当a=-1时，是否存在x

已知函数f（x）=ex+ax（1）当-e＜a≤0时，证明：对于任意x∈R，f（x）＞0成立；（2）当a=-1时，是否存在x0∈（0，+∞），使曲线C：g（x）=exlnx-f（x）在点x=x0处的切线斜率与f（x）在R上的最小值相等？若存在，求符合条件的x0的个数；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）证明：当a=0时，f（x）=e^x＞0成立；
当-e＜a＜0时，f′（x）=e^x+a＞0时，
x＞ln（-a）=-a+aln（-a）=-a[1-ln（-a）]，
∵-a＞0，0＜ln（-a）＜1，
∴f[ln（-a）]＞0成立．
综上，当-e＜a≤0时，对于任意x∈R，f（x）＞0成立．
（2）解：f（x）=e^x-x，则f′（x）=e^x-1，
∴f（x）在x=0处取得最小值f（0）=1，
g（x）=e^xlnx-e^x+x，k=g′(x)＝exlnx+

ex

x

?ex+1＝1，
∴lnx+

1

x

?1＝0，
令h（x）=

1

x

+1＝1，h′(x)＝

1

x

?

1

x2

＝

x?1

x2

，
∴h（x）在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增，
∵h（1）=0，∴只有一个解x₀=1．