Question

已知F1，F2分别为双曲线x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，O为原点，A为右顶点，P为双曲线左支上的

已知F1，F2分别为双曲线x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，O为原点，A为右顶点，P为双曲线左支上的任意一点，若|PF2|2|PF1|?|OA|存在最小值为12a，则双曲线离心率e的取值范围是______．

Answer 1

∵F₁，F₂分别为双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，
∴|PF₁|-|PF₂|=2a，
代入

|PF2|2

|PF1|?|OA|

=|PF₁|-a+

9a2

|PF1|?a

+6a≥6a+6a=12a，
当且仅当|PF₁|=4a时取等号．
∵P为双曲线左支上的任意一点，
∴|PF₁|≥c-a，
∴4a≥c-a，
∴e≤5，
∵P是双曲线左顶点时，|PF₁|=c-a，同时

|PF2|2

|PF1|?|OA|

存在最小值为12a，
∴|PF₁|-a＞0，
∴c-a＞a，
∴e＞2，
∴2＜e≤5．
故答案为：2＜e≤5．