Question

已知函数f(x)=x+1x-1(x≠1)．（1）证明f（x）在（1，+∞）上是减函数；（2）当x∈[3，5]时，求f（x）的最

已知函数f(x)=x+1x-1(x≠1)．（1）证明f（x）在（1，+∞）上是减函数；（2）当x∈[3，5]时，求f（x）的最小值和最大值．

Answer 1

（1）证明：设1＜x₁＜x₂，则 
f（x₁）-f（x₂）=

x1+1

x1-1

-

x2+1

x2-1

=

(x1+1)(x2-1)-(x2+1)(x1-1)

(x1-1)(x2-1)

=

2(x2-x1)

(x1-1)(x2-1)

∵x₁＞1，x₂＞1，∴x₁-1＞0，x₂-1＞0，∴（x₁-1）（x₂-1）＞0，
∵x₁＜x₂，∴x₂-x₁＞0，∴f（x₁）-f（x₂）＞0
∴f（x₁）＞f（x₂）
∴f（x）在（1，+∞）上是减函数．
（2）解：∵[3，5]?（1，+∞），∴f（x）在[3，5]上是减函数，
∴f（x）_max=f（3）=2，f（x）_min=f（5）=1.5．