Question

（2014?唐山三模）如图，正三角形ABC的边长为2，D、E、F分别在三边AB，BC和CA上，且D为AB的中点，∠EDF=9

（2014?唐山三模）如图，正三角形ABC的边长为2，D、E、F分别在三边AB，BC和CA上，且D为AB的中点，∠EDF=90°，∠BDE=θ（0°＜θ＜90°）．（1）当tan∠DEF=32时，求θ的大小；（2）求△DEF的面积S的最小值及使得S取最小值时θ的值．

Answer 1

（1）在△BDE中，由正弦定理

DE

sin60°

=

BD

sin(120°?θ)

得：DE=

BDsin60°

sin(120°?θ)

=

3

2sin(60°+θ)

，
在△ADF中，由正弦定理

DF

sin60°

=

AD

sin(30°+θ)

得：DF=

ADsin60°

sin(30°+θ)

=

3

2sin(30°+θ)

，
∵tan∠DEF=

3

2

，
∴

sin(60°+θ)

sin(30°+θ)

=

3

2

，整理得：tanθ=

3

，
则θ=60°；
（2）S=

1

2

DE?DF=

3

8sin(60°+θ)sin(30°+θ)

=

3

2( 3 cosθ+sinθ)(cosθ+ 3 sinθ)

=

3

2[ 3 (cos2θ+sin2θ)+4sinθcosθ]

=

3

2( 3 +2sin2θ)

，
当θ=45°时，S取最小值

3

2( 3 +2)

=

6?3 3

2

．

Answer 2

本题有误。如果DEF都在正三角形的边上，且∠EDF=90°，则∠DEF的变化范围只能在30°（E与C重合）到60°（E与B重合）之间变化，其tan∠DEF相应只能在1/√3到√3之间变化，不可能出现tan∠DEF=32的结果。

Answer 3

以D为（0,0）AB为x轴作个直角坐标系，用解析法做