Question

设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=1，Sn+1=4an+2（n∈N*）．（1）设bn=an+1-2an，证明数列{bn}是等比数列

设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=1，Sn+1=4an+2（n∈N*）．（1）设bn=an+1-2an，证明数列{bn}是等比数列；（2）求数列{an}的通项公式．

Answer 1

（1）由a₁=1，及S_n+1=4a_n+2，
得a₁+a₂=4a₁+2，a₂=3a₁+2=5，所以b₁=a₂-2a₁=3．
由S_n+1=4a_n+2，①
则当n≥2时，有S_n=4a_n-1+2，②
①-②得a_n+1=4a_n-4a_n-1，所以a_n+1-2a_n=2（a_n-2a_n-1），
又b_n=a_n+1-2a_n，所以b_n=2b_n-1，所以{b_n}是以b₁=3为首项、以2为公比的等比数列．（6分）
（2）由（I）可得b_n=a_n+1-2a_n=3?2^n-1，等式两边同时除以2ⁿ⁺¹，得

an+1

2n+1

?

an

2n

＝

3

4

．
所以数列{

an

2n

}是首项为

1

2

，公差为

3

4

的等差数列．
所以

an

2n

＝

1

2

+(n?1)

3

4

＝

3

4

n?

1

4

，即a_n=（3n-1）?2^n-2（n∈N^*）．（13分）