Question

如图（1），在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，∠ABC的平分线BE交AC于E．（1）求证：AE=BC；（2）如图（2），

如图（1），在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，∠ABC的平分线BE交AC于E．（1）求证：AE=BC；（2）如图（2），过点E作EF∥BC交AB于F，将△AEF绕点A逆时针旋转角α（0°＜α＜144°）得到△AE'F′，连结CE′，BF′，求证：CE′=BF′；（3）在图（2）的旋转过程中当旋转角α=______时，CE′∥AB．

Answer 1

解答：（1）证明：∵∠A=36°，AB=AC，
∴∠ABC=∠C=

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（180°-36°）=72°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE=

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2

×72°=36°，
∴∠BEC=∠A+∠ABE=36°+36°=72°，
∴∠ABE=∠A，∠BEC=∠C，
∴AE=BE，BE=BC，
∴AE=BC；

（2）证明：∵AB=AC，EF∥BC，
∴AE=AF，
由旋转的性质得，∠E′AC=∠F′AB，AE′=AF′，
在△CAE′和△BAF′中，

AE′＝AF′ ∠E′AC＝∠F′AB AB＝AC

，
∴△CAE′≌△BAF′（SAS），
∴CE′=BF′；

（3）解：存在CE′∥AB．
由（1）可知AE=BC，
所以，在△AEF绕点A逆时针旋转过程中，点E经过的路径（圆弧）与过点C且与AB平行的直线l相交于点M、N，如图，
①当点E的像E′与点M重合时，四边形ABCM是等腰梯形，
所以，∠BAM=∠ABC=72°，
又∵∠BAC=36°，
∴α=∠CAM=36°；
②当点E的像E′与点N重合时，
∵CE′∥AB，
∴∠AMN=∠BAM=72°，
∵AM=AN，
∴∠ANM=∠AMN=72°，
∴∠MAN=180°-72°×2=36°，
∴α=∠CAN=∠CAM+∠MAN=36°+36°=72°，
综上所述，当旋转角为36°或72°时，CE′∥AB．
故答案为：36°或72°．