Question

在四边形ABCD中，∠ADB=∠BCD=75°，∠ACB=∠BDC=45°，DC=3，求：（1）AB的长（2）四边形ABCD的面积

在四边形ABCD中，∠ADB=∠BCD=75°，∠ACB=∠BDC=45°，DC=3，求：（1）AB的长（2）四边形ABCD的面积．

Answer 1

解答：解（1）∵∠BCD=75°，∠ACB=45°，
∴∠ACD=30°，
又∵∠BDC=45°，
∴∠DAC=180°-（75°+45°+30°）=30°，
∴AD=DC=

3

，
在△BCD中，∠CBD=180°-（75°+45°）=60°，
由正弦定理得：

BD

sin∠BCD

=

DC

sin∠CBD

，即

BD

sin75°

=

DC

sin60°

，
∴BD=

3 sin75°

sin60°

=

6 + 2

2

，
在△ABD中，由余弦定理得：AB²=AD²+BD²-2×AD×BD×cos75°=5，
∴AB=

5

；
（2）由题意得：S_△ABD=

1

2

×AD×BD×sin75°=

3+2 3

4

，S_△BCD=

1

2

×CD×BC×sin75°=

3+ 3

4

，
则四边形ABCD的面积S=S_△ABD+S_△BCD=

6+3 3

4

．