Question

高二函数问题

共有两题~时间紧迫~解答后可追加分数~

一、已知函数f(x)=x²/2+ax+ln(x-1)（常数a∈R）
①讨论函数f(x)在定义域上的单调性
②当函数f(x)有极值时，求证：函数f(x)所有极值之和小于-8

二、已知函数f(x)=4x/(3x²+3），x∈[0,2]
①求f(x)值域
②设a≠0，函数g(x)=1/3ax³-a²x,x∈[0,2],若对任意x1∈[0,2]，总存在x0∈[0,2]，使f(x1)-g(x0)=0,求实数a的取值范围。

Answer 1

1、 定义域x>1，
f'(x) = x + a + 1/(x-1) = (x-1) + 1/(x-1) + (a +1) >= 2+a+1=a+3
a>=-3时，f'(x)恒大于等于0，f(x)在定义域上单调增
a<-3时，令f'(x)=0，求出 x=[(1-a) +/- √(a^2+2a-3)]/2, 设两个根为x1，x2，且x1<x2
当x<x1或x>x2时，f'(x)>0,f(x)单调增，当x1<=x<=x2时，f'(x)<0,f(x)单调减

2、有极值，即f'(x)=0, 显然当a>-3时，f'(x)>0，f(x)无极值，a=-3，f'(2)=0，最小值f(2)=-4<-8
a<-3时，x1+x2 = 1-a，x1x2=1-a，x1^2+x2^2 = (1-a)^2 - 2(1-a)
f(x1)+f(x2)=(x1^2+x2^2)/2 + a(x1+x2) + ln[x1x2-(x1+x2)+1]带入前面的值即可证

二
1、f'(x)=(4/3)[x/(x^2+1)-2x^2/(x^2+1)^2]=4(1-x^2)/3(x^2+1)^2
x∈[0,1）f'(x)>0,f(x)单调增; x∈(1,2]时，f'(x)<0,f(x)单调减
f'(1)=0, f(1)=2/3是最大值，f(0)=0<f(2)，所以值域[0,2/3]

2、即g(x)在x∈[0,2]区间内的值域也必须包括[0,2/3]
g'(x)=x^2/a -a^2 = 0, 则x^2 = a^3
当a<0时，g'(x)<0，g(x)单调减, g(0)=0最大，显然不满足值域要求
当a>0时，x = + a^1.5, g(a^1.5)最小值，
如果a^1.5 > 2，那么[0,2]是单调递减区间，g(0)=0最大，显然不行。
a^1.5 <= 2时，先是单调减，再单调增
g(0)=0, 满足值域下界值要求，值域上界g(2)>2/3，带入a算一下就可以了，再和 a^1.5 <= 2，以及a>0取交集

Answer 2

=936

Answer 3

都是导数问题。

Answer 4

a²

Answer 5

一、（1） 定义域是（1，+无穷）
求导 f(x)的导数是 (x-1) + 1/(x-1) +a+1` >=a+3
分类：(1)a>=-3 时， f(x)的导数恒大于等于0，所以在定义域上递增。
(2)a<-3 时 , f(x)的导数就有正有负了，此时解方程 x+1/(x-1)+a=0,求出两解x1,x2(x1<x2),则单调增区间是：（1，x1)与(x2,+无穷)
单调减区间是: (x1,x2)
(x1,x2)你自己求一下，是一元二次方程的解。

（2）f(x)有极值，则a<-3
此时两极值分别在(1)中的x1,x2处取得，带入函数得出
f(x1)+f(x2)=...代入得出关于a的函数，求出其在（-无穷，-3）上的
极大值，证出该值小于8即可得证。

二、(1) 将f（x）分子上的x除到分母上来，得：
f（x）=4/(3x+3/x)
分类讨论：（1）x=0，f（x）=0
（3）x>0, 有x+1/x>=2, 所以f(x)属于（0，2/3）
综上值域 ,【0，2/3)

(2)对任意x1∈[0,2]，总存在x0∈[0,2]，使f(x1)-g(x0)=0,
这句话的意思是：在【0，2】上g（x）的值域包含f（x）的值域
所以下面就回归到求g（x）的值域了，求出关于a的表达式后，
是g（x）的左值域最小值小于0（此情况对应于g（x）左值域值取不到）
小于等于0（此情况对应于g（x）左值域值取得到）
g（x）的右值域最大值 大于等于2/3

下面就交给你自己了