Question

已知函数f（x）=lnx-ax．（1）若a＞0，试判断f（x）在其定义域内的单调性；（2）当a=-2时，求f（x）的最

已知函数f（x）=lnx-ax．（1）若a＞0，试判断f（x）在其定义域内的单调性；（2）当a=-2时，求f（x）的最小值；（3）若f（x）在[1，e]上的最小值为32，求a的值．

Answer 1

（1）∵f（x）=lnx-

a

x

．（x＞0）且a＞0
∴f′（x）=

1

x

+

a

x2

＞0，
∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．
（2）当a=-2时，f（x）=lnx+

2

x

．x＞0
∴f′（x）=

1

x

-

2

x2

=

1

x

（1-

1

x

）=

1

x

?

x?1

x

令f′（x）=0，得x=1，
当f′（x）＞0，即x＞1时，函数f（x）递增，
当f′（x）＜0，即0＜x＜1时，函数f（x）递减，
所以当x=1时，函数有极小值，极小值为f（1）=ln1+2=2，
（3）∵f′（x）=

1

x

+

a

x2

，
令f′（x）＜0得x＜-a，令f′（x）＞0，得x＞-a，
①-a≤1，即a≥-1时，f（x）在[1，e]上单增，f（x）最小值=f（1）=-a=

3

2

，a=-

3

2

＜-1，不符，舍去；
②-a≥e，即a≤-e时，f（x）在[1，e]上单减，f（x）最小值=f（e）=1-

a

e

=，a=-

e

2

＞-e，不符，舍去；
③1＜-a＜e，即-e＜a＜-1时，f（x）在[1，-a]上单减，在[-a，e]上单增，f（x）最小值=f（-a）=ln（-a）+1=

3

2

，
解a=-

e