Question

（本题12分）如图，抛物线 y = ax 2 ＋ bx ＋ c 交 x 轴于点 A （－3，0），点 B （1，0），交 y 轴于点

（本题12分）如图，抛物线 y = ax 2 ＋ bx ＋ c 交 x 轴于点 A （－3，0），点 B （1，0），交 y 轴于点 E （0，－3）。点 C 是点 A 关于点 B 的对称点，点 F 是线段 BC 的中点，直线 l 过点 F 且与 y 轴平行。直线 y =－ x ＋ m 过点 C ，交 y 轴于 D 点.⑴求抛物线的函数表达式；⑵点 K 为线段 AB 上一动点，过点 K 作 x 轴的垂线与直线 CD 交于点 H ，与抛物线交于 点 G ，求线段 HG 长度的最大值；⑶在直线 l 上取点 M ，在抛物线上取点 N ，使以点 A ， C ， M ， N 为顶点的四边形是平行四边形，求点 N 的坐标.

Answer 1

解：（1）设抛物线的函数表达式为y=a（x-1）（x+3） ∵抛物线交y轴于点E（0，-3），将该点坐标代入上式，得a=1 ∴所求函数表达式为y=（x-1）（x+3）， 即y=x 2 +2x-3； （2）∵点C是点A关于点B的对称点，点A坐标（-3，0），点B坐标（1，0）， ∴点C坐标（5，0）， ∴将点C坐标代入y=-x+m，得m=5， ∴直线CD的函数表达式为y=-x+5， 设K点的坐标为（t，0），则H点的坐标为（t，-t+5），G点的坐标为（t，t 2 +2t-3）， ∵点K为线段AB上一动点， ∴-3≤t≤1， ∴HG=（-t+5）-（t 2 +2t-3）=-t 2 -3t+8=-（t+ ） 2 + ， ∵-3＜- ＜1， ∴当t="-" 时，线段HG的长度有最大值 ； （3）∵点F是线段BC的重点，点B（1，0），点C（5，0）， ∴点F的坐标为（3，0）， ∵直线l过点F且与y轴平行， ∴直线l的函数表达式为x=3， ∵点M在直线l上，点N在抛物线上， ∴设点M的坐标为（3，m），点N的坐标为（n，n 2 +2n-3）， ∵点A（-3，0），点C（5，0）， ∴AC=8， 分情况讨论： ①若线段AC是以点A、C，M、N为顶点的平行四边形的边，则需MN∥AC，且MN=AC=8． 当点N在点M的左侧时，MN=3-n， ∴3-n=8，解得n=-5， ∴N点的坐标为（-5，12）， 当点N在点M的右侧时，MN=n-3， ∴n-3=8， 解得n=11， ∴N点的坐标为（11，140）， ②若线段AC是以点A、C，M、N为顶点的平行四边形的对角线，由“点C与点A关于点B中心对称”知：点M与点N关于点B中心对称，取点F关于点B的对称点P，则P点坐标为（-1，0） 过P点作NP⊥x轴，交抛物线于点N， 将x=-1代入y=x 2 +2x-3，得y=-4， 过点N，B作直线NB交直线l于点M， 在△BPN和△BFM中， ∠NBP=∠MBF， BF=BP， ∠BPN=∠BFM=90°， ∴△BPN≌△BFM， ∴NB=MB， ∴四边形ANCM为平行四边形， ∴坐标（-1，-4）的点N符合条件， ∴当N的坐标为（-5，12），（11，140），（-1，-4）时，以点A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形．

略