Question

如图，在⊙O中，AB为⊙O的直径，AC为弦，OC=4，∠OAC=60°. （1）求∠AOC的度数；（2）在图（1）中，P

如图，在⊙O中，AB为⊙O的直径，AC为弦，OC=4，∠OAC=60°. （1）求∠AOC的度数；（2）在图（1）中，P为直径BA的延长线上一点，且 ，求证：PC为⊙O的切线.（3）如图（2），一动点M从A点出发，在⊙O上按逆时针方向运动一周（点M不与点C重合），当 时，求动点M所经过的弧长.

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Answer 1

（1）60°; （2）证明见解析; （3） 或 或 或 .

试题分析：（1）由OA、OC都是⊙O的半径知，△AOC是等腰三角形，然后根据等边三角形的判定和性质求得∠AOC =60°； （2）由 求出PA的长，从而得出∠P=∠PCA，∠AOC=∠ACO，根据等边对等角和三角形内角和定理可得∠PCO=90 0 ，进而证得结论; （3）如图，当S △ MAO =S △ CAO 时，动点M的位置有四种:①作点C关于直径AB的对称点M 1 ，连接AM 1 ，OM 1 ,②过点M 1 作M 1 M 2 ∥AB交⊙O于点M 2 ，连接AM 2 ，OM 2 ，③过点C作CM 3 ∥AB交⊙O于点M 3 ，连接AM 3 ，OM 3 ，④当点M运动到C时，M与C重合，求得每种情况的OM转过的度数，再根据弧长公式求得弧AM的长． 试题解析：（1）在△OAC中，∵OA=OC（⊙O的半径），∠OAC=60°，∴∠OAC=∠OCA（等边对等角）. 又∵∠OAC=60°，∴△AOC是等边三角形. ∴∠AOC=60°. （2）如图,作PA边上的高CE, ∵△AOC是等边三角形, OC=4，∴CE= . ∵ ，∴ . ∴ .∴PA="AC=AO=4." ∴∠P=∠PCA，∠AOC=∠ACO. ∴∠PCO=90 0 . 又∵OC是⊙O的半径，∴PC为⊙O的切线. （3）如图， ①作点C关于直径AB的对称点M 1 ，连接AM 1 ，OM 1 ． 此时S △ M1AO =S △ CAO ，∠AOM 1 =60°.∴弧AM 1 = . ∴当点M运动到M 1 时，S △ MAO =S △ CAO ，此时点M经过的弧长为 . ②过点M 1 作M 1 M 2 ∥AB交⊙O于点M 2 ，连接AM 2 ，OM 2 ， 此时S △ M2AO =S △ CAO ．∴∠AOM 1 =∠M 1 OM 2 =∠BOM 2 =60°.∴弧AM 2 = . ∴当点M运动到M 2 时，S △ MAO =S △ CAO ，此时点M经过的弧长为 ． ③过点C作CM 3 ∥AB交⊙O于点M 3 ，连接AM 3 ，OM 3 ， 此时S △ M3AO =S △ CAO , ∴∠BOM 3 =60°.∴弧AM 3 = . ∴当点M运动到M 3 时，S △ MAO =S △ CAO ，此时点M经过的弧长为 . 点M运动到C时，M与C重合，S △ MAO =S △ CAO ， 此时点M经过的弧长为 .