Question

已知函数f（x）=（x 3 +3x 2 +ax+b）e -x ．（1）如a=b=-3，求f（x）的单调区间；（2）若f（x）在（-∞，

已知函数f（x）=（x 3 +3x 2 +ax+b）e -x ．（1）如a=b=-3，求f（x）的单调区间；（2）若f（x）在（-∞，α），（2，β）单调增加，在（α，2），（β，+∞）单调减少，证明：β-α＜6．

Answer 1

（Ⅰ）当a=b=-3时，f（x）=（x 3 +3x 2 -3x-3）e -x ， 故f′（x）=-（x 3 +3x 2 -3x-3）e -x +（3x 2 +6x-3）e -x =-e -x （x -3 -9x）=-x（x-3）（x+3）e -x 当x＜-3或0＜x＜3时，f′（x）＞0； 当-3＜x＜0或x＞3时，f′（x）＜0． 从而f（x）在（-∞，-3），（0，3）单调增加，在（-3，0），（3，+∞）单调减少； （Ⅱ）f′（x）=-（x 3 +3x 2 +ax+b）e -x +（3x 2 +6x+a）e -x =-e -x [x 3 +（a-6）x+b-a]． 由条件得：f′（2）=0，即2 3 +2（a-6）+b-a=0，故b=4-a， 从而f′（x）=-e -x [x 3 +（a-6）x+4-2a]． 因为f′（α）=f′（β）=0， 所以x 3 +（a-6）x+4-2a=（x-2）（x-α）（x-β）=（x-2）（x 2 -（α+β）x+αβ）． 将右边展开，与左边比较系数得，α+β=-2，αβ=a-2． 故 β-α= (β+α) 2 -4αβ = 12-4a ．， 又（β-2）（α-2）＜0，即αβ-2（α+β）+4＜0．由此可得a＜-6． 于是β-α＞6．