Question

（本大题满分14分）如图，F为双曲线C： 的右焦点。P为双曲线C右支上一点，且位于 轴上方，M为左准线上

（本大题满分14分）如图，F为双曲线C： 的右焦点。P为双曲线C右支上一点，且位于 轴上方，M为左准线上一点， 为坐标原点。已知四边形 为平行四边形， 。（Ⅰ）写出双曲线C的离心率 与 的关系式；（Ⅱ）当 时，经过焦点F且品行于OP的直线交双曲线于A、B点，若 ，求此时的双曲线方程。

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Answer 1

（Ⅰ） 。（Ⅱ）

解：（Ⅰ）∵四边形 是 ，∴ ，作双曲线的右准线交PM于H，则 ，又 ， 所以 。 （Ⅱ）当 时， ， ， ，双曲线为 四边形 是菱形，所以直线OP的斜率为 ，则直线AB的方程为 ，代入到双曲线方程得： ， 又 ，由 得： ， 解得 ，则 ，所以 为所求。