Question

已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1,f(－1)＝－1，且f(x)的最大值为8，求二次函数f(x)的解析式

已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1,f(－1)＝－1，且f(x)的最大值为8，求二次函数f(x)的解析式．

Answer 1

f(x)＝－4x 2 ＋4x＋7

(解法1：利用一般式)设f(x)＝ax 2 ＋bx＋c(a≠0)， 解得 ∴所求二次函数为f(x)＝－4x 2 ＋4x＋7. (解法2：利用顶点式)设f(x)＝a(x－m) 2 ＋n，∵f(2)＝f(－1)，∴抛物线对称轴为x＝ ＝ ，即m＝ ；又根据题意，函数最大值y max ＝8， ∴n＝8，∴f(x)＝a 2 ＋8.∵f(2)＝－1，∴a ＋8＝－1，解得a＝－4. ∴f(x)＝－4 2 ＋8＝－4x 2 ＋4x＋7. (解法3：利用两根式)由题意知f(x)＋1＝0的两根为x 1 ＝2，x 2 ＝－1，故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)，即f(x)＝ax 2 －ax－2a－1.又函数有最大值y max ＝8，即 ＝8，解得a＝－4或a＝0(舍)，∴所求函数的解析式为f(x)＝－4x 2 －(－4)x－2×(－4)－1＝－4x 2 ＋4x＋7

Answer 2

（1）首先,该二次函数f(x)的对称轴可由其对称性求得：x
=
(2-1)/2
=
1/2加上该二次函数有最大值8,所以可设f(x)
=
-a(x-1/2)^2
+
8代入f(2)
=
-1,
-1
=
-a(1
-
1/2)^2
+
8a
=
4因此,该二次函数的解析式为：f(x)
=
-4(x-1/2)^2
+
8（2）将f(x)往左平移1/2
单位,向下平移8
单位,可以得到
g(x)=-4w^2的图像