Question

已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+3=0（m∈R）有实数根，且两根分别为x1、x2，（1）求证：x1+x2+x1?x2的值为

已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+3=0（m∈R）有实数根，且两根分别为x1、x2，（1）求证：x1+x2+x1?x2的值为定值，并写出这个定值；（2）求（x1+x2）?x1?x2的最大值．

Answer 1

（1）由韦达定理知x₁+x₂=-2m，x₁?x₂=2m+3--------（2分）
∴x₁+x₂+x₁?x₂=3为定值--------（1分）
（2）（x₁+x₂）?x₁?x₂=-2m?（2m+3）=-4（m+

3

4

）²+

9

4

--------（1分）
∵关于x的二次方程x²+2mx+2m+3=0（m∈R）有实数根，
∴△=4m²-4（2m+3）≥0
即m²-2m-3≥0
解得m≤-1，或m≥3--------（2分）
又∵（x₁+x₂）?x₁?x₂=-2m?（2m+3）=-4（m+

3

4

）²+

9

4

--------（1分）
在m≤-1时为增函数，m=-1时最大值为2，---（2分）
在m≥3时为减函数，m=3时最大值为-54，
∴（x₁+x₂）?x₁?x₂的最大值为2--------（2分）