Question

已知P是双曲线x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，双曲线的离心率

已知P是双曲线x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，双曲线的离心率为e，下列命题正确的是（　　）A．双曲线的焦点到渐近线的距离为aB．若|PF1|=e|PF2|，则e的最大值为3C．△PF1F2的内切圆的圆心的横坐标为bD．若∠F1PF2的外角平分线交x轴与M，则|MF1||PF1|=e．

Answer 1

解答：解：双曲线的焦点（c，0）到渐近线bx+ay=0的距离为

bc

b2+a2

=b，故A不正确；
若|PF₁|=e|PF₂|，则|PF₁|-|PF₂|=（e-1）|PF₂|=2a，
∴2a≥（e-1）（c-a），∴2≥（e-1）²，∴1＜e≤

2

+1，∴e的最大值为

2

+1，故B不正确；
如图所示：F₁（-c，0）、F₂（c，0），设内切圆与x轴的切点是点H，PF₁、PF₂分 与内切圆的切点分别为M、N，
∵由双曲线的定义可得|PF₁|-|PF₂|=2a，由圆的切线长定理知，|PM|=|PN|，故|MF₁|-|NF₂ |=2a，
即|HF₁|-|HF₂|=2a，设内切圆的圆心横坐标为x，则点H的横坐标为x，
故（x+c）-（c-x）=2a，∴x=a．故C不正确；
利用三角形外角平分线的性质，结合双曲线的定义，可知结论正确．
故选：D