Question

在一张长方形纸片ABCD中，AB=25cm，AD=20cm，现将这张纸片按下列图示方法折叠，请解决下列问题．（1）如

在一张长方形纸片ABCD中，AB=25cm，AD=20cm，现将这张纸片按下列图示方法折叠，请解决下列问题．（1）如图（1），折痕为DE，点A的对应点F在CD上，求折痕DE的长；（2）如图（2），H，G分别为BC，AD的中点，A的对应点F在HG上，折痕为DE，求重叠部分的面积；（3）如图（3），在图（2）中，把长方形ABCD沿着HG对开，变成两张长方形纸片，将两张纸片任意叠合后，判断重叠四边形的形状，并证明；（4）在（3）中，重叠四边形的周长是否存在最大值或最小值？如果存在，试求出来；如果不存在，试简要说明理由．

Answer 1

（1）∵四边形ADFE是正方形，
∴DE=

AD2+AE2

=

202+202

=20

2

（cm）

（2）∵由折叠可知DG=

1

2

AD=

1

2

DF，
∴在Rt△DGF中，∠GFD=30°，∠GDF=60°，
∵∠GDE=∠EDF，
∴∠EDA=30°．
∴在Rt△ADE中，tan∠EDA=

AE

AD

，
∴AE=AD?tan30°=

20 3

3

．
∴S_△DEF=

1

2

AE?AD=

1

2

×20×

20 3

3

=

200 3

3

．


（3）重叠四边形MNPQ的形状是菱形；如图1，
证明：因纸片都是矩形，则重叠四边形的对边互相平行，则四边形MNPQ是平行四边形．
如图1，过Q作QL⊥NP于点L，QK⊥NM于点K，
又∵QL=QK，
∴S_MNPQ=PN?QL=MN?QK．
∴MN=NP，
∴四边形MNPQ的形状是菱形．


（4）当矩形纸片互相垂直时，这个菱形的周长最短是40 cm．
最大的菱形如图2所示放置时，重叠部分的菱形面积最大．
设GK=x，则HK=25-x．
在Rt△KHB中，x²=（25-x）²+10²，
解得x=14.5．
则菱形的最大周长为58 cm．