Question

设函数f（x）=|2x+1|-|x-4|．（Ⅰ）解不等式f（x）＞0；（Ⅱ）若f（x）+3|x-4|＞m对一切实数x均成立，求m

设函数f（x）=|2x+1|-|x-4|．（Ⅰ）解不等式f（x）＞0；（Ⅱ）若f（x）+3|x-4|＞m对一切实数x均成立，求m的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）当x≥4时，f（x）=2x+1-（x-4）=x+5＞0，得x＞-5，所以x≥4；
当-

1

2

≤x＜4时，f（x）=2x+1+x-4=3x-3＞0，得x＞1，所以1＜x＜4；
当x＜-

1

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时，f（x）=-x-5＞0，得x＜-5，所以x＜-5；
综上，原不等式的解集为{x|x＞1或x＜-5}…5分
（Ⅱ）f（x）+3|x-4|=|2x+1|+2|x-4|≥|2x+1-（2x-8）|=9，当-

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2

≤x＜4时等号成立，
所以m＜9，即m的取值范围是（-∞，9）…10分