Question

求助，一道经典数学几何题！

已知△ABC的两条角平分线AD和CE相交于H，∠B=60°，F在AC上，且AE=AF。（1）证明：BDHE四点共圆。（2）证明：CE平分∠DEF.
请高手们给出详细的解答过程，谢谢！

Answer 1

证明：
（1）因为CE、AD为角平分线，又因为∠B=60度，所以有∠CAB+∠BCA = 120°，∠ACH+∠CAH=60°，在△AHC中有∠CHA=120° ,所以∠DHE = 120°,既有四边形EBDH对角之和为180°，所以四点共圆
（2）连接EF、FH、FD、ED，因为AE=AF，所以AH垂直平分于EF，而∠DHE = 120°，所以FH = HE,∠FEH = ∠EFH =30°,∠FHE =120°,所以∠FHD=120°,以,∠FHA =∠FHC=60°,所以CE垂直平分FD，故△FDE为等边三角形，所以CE平分∠DEF.

Answer 2

很难，大哥，没人回答就选我吧。。

Answer 3

第一问：证明：设∠BAD=∠1,∠BCE=∠2

∵AD平分∠BAC，CE平分∠BCA，

∴∠B+2∠1+2∠2=180°（三角形内角和定理）

∴2∠1+2∠2=180°-60°=120°

∴∠1+∠2=60°，即∠HAC+∠HCA=60°

∴∠AHC=120°=∠EHD

∴∠EHD+∠B=180°，两角互补，所以四边形EBDH为某一圆的内接四边形

即B、D、E、H四点共圆。

第二问：连接BF

∵AE=AF，且AD平分∠BAC

∵AD⊥EF ∴△AEH与△AFH关于直线AD轴对称

由上一问得∠AHE=60°∴∠EHF=120°=∠DHF=∠EHD

∵H为三条平分线交点即内心，且内心周围的三个角相等

∴∠A=∠B=∠C=60°即该三角形为等边三角形，

∴D、E、F分别为三边中点

∴EF‖BC，DE‖AC，

∴四边形EFCD为平行四边形，EC为对角线且EC平分∠C

∴EC平分∠DEF

（图画的不太准，见谅！）