Question

求（x -1）^n /n 2^n 的收敛域

Answer 1

R=lim(n->∞)(1/n2^n)/(1/(n+1)2^(n+1))
=2
-2<x-1<2
-1<x<3 肯定收敛
x=-1时
原级数=∑(-1)^n/n 收敛
x=2时
原级数=∑1/n发散
所以
收敛域为[-1,3)

Answer 2

令t=x-1，则幂级数(x-1)^n/n2^n=1/n2^n t^n ，记An=1/n2^n ，
则R=lim An/An+1=lim1/n2^n/1/(n+1)2^n+1
=lim(n+1)2^n+1/n2^n=2

当t=2时， 级数1/(n2^n)t^n=级数1/n调和级数发散。
当t=-2时，级数=(-1)^n/n为交错级数收敛 。
则级数t^n/2^nn收敛域为「-2,2)，则原题目级数收敛域为「-1,3)

摘自微积分下155页例4的答案

Answer 3

后一项与前一项的比的绝对值为：
|2x*(n^2+1)/[(n+1)^2+1]|

Answer 4