Question

如图在三角形ABE中,BE=根号2,AE=2,以AB为边向外作三角形ABCD，连接DE，则DE的最大值是

已知答案为3根号2，求解析

Answer 1

改题了：如图在三角形ABE中,BE=√2,AE=2,以AB为边向外作正方形ABCD，连接DE，则DE的最大值是
解：以BC,BA为x,y轴建立直角坐标系，设C(a,0),0<a<2+√2,则A(0,a),D(a,a),
以B为圆心，√2为半径的圆：x^2+y^2=2,①
以A为圆心，2为半径的圆:x^2+(y-a)^2=4,②
①-②，2ay-a^2=-2,y=(a^2-2)/(2a)，
代入①，x^2=2-(a^4-4a^2+4)/(4a^2)=(12a^2-a^4-4)/(4a^2),
看图，取x=-√(12a^2-a^4-4)/（2a),
∴E(-√(12a^2-a^4-4)/（2a),(a^2-2)/(2a)),
∴w=DE^2=[a+√(12a^2-a^4-4)/（2a)]^2+[a-(a^2-2)/(2a)]^2
={[2a^2+√(12a^2-a^4-4)]^2+(a^2+2)^2}/(4a^2)
={3a^4+12a^2-4+4a^2√(12a^2-a^4-4)
a^4+4a^2+4 ]/(4a^2)
=a^2+4+√(12a^2-a^4-4),
设u=a^2∈(0,6+4√2),w=u+4+√(12u-u^2-4),
w'=1+(6-u)/√(12u-u^2-4)=0,
√(12u-u^2-4)=u-6,
平方得12u-u^2-4=u^2-12u+36,
整理得2u^2-24u+40=0,
u^2-12u+20=0,u>6,解得u=10,
此时，w=18,DE的最大值是3√2.

Answer 2