Question

求函数y=sinx/2sinx-1的值域

Answer 1

　　y=(sinx-2)/(sinx-1)=1-1/(sinx-1),x≠（π/2+2Kπ），K∈Z，sinx∈[-1,1），sinx-1∈[-2,0),1/(sinx-1)∈[-1/2,+无穷），-1/(sinx-1)∈（-无穷，1/2],y∈（-无穷，3/2]，即值域。
　　在数学中，函数的值域（Range）是由定义域中一切元素所能产生的所有函数值的集合。有时候也称为函数的像。利用函数和他的反函数定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域。背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。　换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。　它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。

Answer 2

y=sinx/(2sinx-1)
定义域：2sinx≠1→x≠2kπ+π/6,x≠2kπ+5π/6
y'=[cosx(2sinx-1)-sinx(2cosx)]/(2sinx-1)²
=-cosx/(2sinx-1)²
驻点：x=2kπ+π/2，x=2kπ-π/2
x∈(2kπ-π/2,2kπ+π/6),y'<0,y单调递减:1/3→-∞
x∈(2kπ+π/6,2kπ+π/2),y'<0,y单调递减:+∞→1
x∈(2kπ+π/2,2kπ+5π/6),y'>0,y单调递增:1→+∞
x∈(2kπ+5π/5,2kπ+3π/2),y'>0,y单调递增:-∞→1/3
∴y∈(-∞,1/3]∪[1,+∞]