Question

求解答 ！！一道高一数学题、在线等~~

若f（X)=ax+1/x+2在区间（-2，+∞）上是增函数，则a的取值范围是？

请附带详细过程让人容易理解、谢谢！
是f（x)=(ax+1)/(x+2)

Answer 1

高一做法..
f(x)=(ax+1)/(x+2)
不妨设x1＞x2＞-2
因为f(x)在(-2,+∞)上为增函数
则，f(x1)-f(x2)=(ax1+1)/(x1+2)-(ax2+1)/(x2+2)
=[(ax1+1)(x2+2)-(ax2+1)(x1+2)]/[(x1+2)(x2+2)]
=[(ax1x2+2ax1+x2+2)-(ax1x2+x1+2ax2+2)]/[(x1+2)(x2+2)]
=[(2a-1)(x1-x2)]/[(x1+2)(x2+2)]
＞0
上式中，x1-x2＞0，(x1+2)(x2+2)＞0
所以，2a-1＞0
所以，a＞1/2

第二种做法
f(x)=(ax+1)/(x+2)=(ax+2a+1-2a)/(x+2)=a+(1-2a)/(x+2),由反函数的性质，f(x)要在x＞－2时是增函数，则有1-2a<0,即a>1/2

还可以求导

Answer 2

求导 f'(X)=a-1/X² 1/X² 在区间（-2，+∞）最大的数字式 1/4
a大于等于1/4

Answer 3

设自变量x1和x2
且x1∈（—2，+∞）x2∈（—2，+∞）
x1<x2
f(x2)=(ax2+1)/(x2+2)
f(x1)=(ax1+1)/(x1+2)
因为在区间（—2，+∞）上是增函数
则f(x2)>f(x1)
所以得(ax2+1)/(x2+2)>(ax1+1)/(x1+2) ①
因为x∈（—2，+∞）
所以x1+2>0;x2+2>0
式①乘以（x1+2）*（x1+2）
整理得a>0.5
a∈(0.5,+∞)
答案绝对正确，又简单，容易理解。

参考:

f(x)=（ax+1）/(x+2)
=[a(x+2)-2a+1]/(x+2)
=a+(1-2a)/(x+2).
令,Y=1/(x+2),
而此函数,在x∈(-2,＋∞)上为减函数,
现要使Y=(1-2a)/(x+2),在x∈(-2,＋∞)上为增函数,则须满足(1-2a)<0,
a>1/2.
即,函数f(x)=（ax+1）/(x+2)在区间(-2,＋∞)上为增函数,则a的取值范围是:a>1/2.