Question

不会做的数学题目,希望大家帮帮忙.

已知A,B,C,三点在函数f(x)=log2x的图像上，其横坐标分别为a,a+4,a+8(a>1),设三角形ABC的面积为S
(1)求s的取值范围
(2)若S>2,求a的取值范围

Answer 1

(1) A,B,C,三点的坐标分别为
(a,log2(a))，(a+4,log2(a+4))，(a+8,log2(a+8)).
则三角形ABC的面积为
S =(1/2)*[(a+8)-a]*{log2(a+4)-[log2(a)+log2(a+8)]/2}
=2*{2log2(a+4)-[log2(a)+log2(a+8)]}
=2*log2{(a+4)^2/[a(a+8)]}
=2*log2{1+16/[a(a+8)]}
由于a>1,则a(a+8)∈(9,+∞),
log2{1+16/[a(a+8)]}∈(0,2*log2(5/3)),
s的取值范围: (0, 4*log2(5/3)).

(2) S>2,2*log2{1+16/[a(a+8)]}>2,
log2{1+16/[a(a+8)]}>1 (a>1)
1+16/[a(a+8)]>2, (a>1)
a(a+8)<16, (a>1)
1<a<4√2-4
即a的取值范围是: (1, 4√2-4) .

Answer 2

解：设A,B,C在x轴上的投影点分别为D，E，F（自己画图）

(1)S=梯形ABED的面积+梯形BCFE的面积-梯形ACFD的面积
=2（log2a+log2(a+4)）+2(log2(a+4)+log2(a+8))-4(log2a+log2(a+8))
化简得：
S=2log2(a+4)(a+4)/a(a+8)=2log2(1+16/(a^2+8a))
∴S是a的单调递减函数，
∵a>1;
所以S<2log2(1+16/(1+8)),
即S>4log2(5/3)

(2)若S>2,则2log2(1+16/(a^2+8a))>2,
∴即解不等式组：
① 1+16/(a^2+8a)>2;
② a>1;
解得：-4+4根号二>a>1;

其中a^2代表a的平方