Question

三角形ABC的三个内角ABC成等差数列,求证1/a+b +1/b+c=3/a+b+c

三角形ABC的三个内角ABC成等差数列,求证1/a+b +1/b+c=3/a+b+c 这个可以用正弦定理证明嘛？

Answer 1

证：
三角形三内角A、B、C成等差数列，则A+C=2B
A+B+C=π
3B=π
B=π/3
由余弦定理得cosB=(a²+c²-b²)/(2ac)
B=π/3代入，
(a²+c²-b²)/(2ac)=cos(π/3)=1/2
a²+c²-b²=ac
a²+c²-ac-b²=0
1/(a+b)+1/(b+c)-3/(a+b+c)
=[(b+c)(a+b+c)+(a+b)(a+b+c)-3(a+b)(b+c)]/[(a+b)(b+c)(a+b+c)]
=(ab+b²+bc+ac+bc+c²+a²+ab+ac+ab+b²+bc-3ab-3ac-3b²-3bc)/[(a+b)(b+c)(a+b+c)]
=(c²+a²-ac-b²)/[(a+b)(b+c)(a+b+c)]
=0/[(a+b)(b+c)(a+b+c)]
=0
1/(a+b)+1/(b+c)=3/(a+b+c)，等式成立。

解题思路：
1、先由三内角成等差数列求B，再由余弦定理求得关于a、b、c的关系式。本题求得c²+a²-ac-b²=0
2、要证等式成立，先对1/(a+b)+1/(b+c)与3/(a+b+c)求差，若差为0，则等式成立。
3、求差的结果，分子恰好为c²+a²-ac-b²，由前面运用余弦定理求得的等式知c²+a²-ac-b²=0，差的分子为0，差为0，等式成立。

Answer 2

可以根据 15 定理 三角形两边的和大于第三边
16 推论 三角形两边的差小于第三边
17 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180°
18 推论1 直角三角形的两个锐角互余
19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和
20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角
21 全等三角形的对应边、对应角相等
22边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等
23 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等
24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等
25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等
26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等
28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上
29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合
30 等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角）
31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边
32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合
33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°
34 等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）
35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形
36 推论2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形
37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半
38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半
39 定理 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等
40 这两个图形关于这条直勾股定理 直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜