Question

求函数f(x,y)=sinx+cosy+cos(x-y),0≤x,y≤π/2的极值

Answer 1

解：

∂f/∂x=cosx-sin(x-y)

∂f/∂y=-siny+sin(x-y)

∂²f/∂x²=-sinx-cos(x-y)

∂²f/∂y²=-cosy-cos(x-y)

∂²f/∂x∂y=cos(x-y)

先求驻点：

∂f/∂x=∂f/∂y=0

sin(x-y)=siny

所以x=2y或x=π（舍去）

cos2y=siny

2sin^2y+siny-1=0

(2siny-1)(siny+1)=0

siny=1/2或-1（舍去）

y=π/6

x=2y=π/3

所以x0=π/3，y0=π/6是f(x,y)的驻点

A=∂²f/∂x²|(x0,y0)=-√3

B=∂²f/∂x∂y|(x0,y0)=√3/2

C=∂²f/∂y²|(x0,y0)=-√3

因为B^2-AC=-9/4<0，且A<0

所以f(π/3,π/6)=(3√3)/2是函数的极大值

扩展资料

求函数极值的方法：

利用函数连续性，直接将趋向值带入函数自变量中，此时要要求分母不能为0。

当分母等于零时，就不能将趋向值直接代入分母，因式分解，通过约分使分母不会为零。若分母出现根号，可以配一个因子使根号去除。

如果趋向于无穷，分子分母可以同时除以自变量的最高次方。（通常会用到这个定理：无穷大的倒数为无穷小）

采用洛必达法则求极限，当遇到分式0/0或者∞/∞时可以采用洛必达，其他形式也可以通过变换成此形式。符合形式的分式的极限等于分式的分子分母同时求导。

Answer 2

∂f/∂x=cosx-sin(x-y)

∂f/∂y=-siny+sin(x-y)
∂²f/∂x²=-sinx-cos(x-y)
∂²f/∂y²=-cosy-cos(x-y)
∂²f/∂x∂y=cos(x-y)
先求驻点：
∂f/∂x=∂f/∂y=0
sin(x-y)=siny
所以x=2y或x=π（舍去）
cos2y=siny
2sin^2y+siny-1=0
(2siny-1)(siny+1)=0
siny=1/2或-1（舍去）
y=π/6
x=2y=π/3
所以x0=π/3，y0=π/6是f(x,y)的驻点
A=∂²f/∂x²|(x0,y0)=-√3
B=∂²f/∂x∂y|(x0,y0)=√3/2
C=∂²f/∂y²|(x0,y0)=-√3
因为B^2-AC=-9/4<0，且A<0
所以f(π/3,π/6)=(3√3)/2是函数的极大值

Answer 3

sinx+cosy+cos(x-y)=sinx+2cos(x/2)cos(x-2y)小于等于sinx+2cos(x/2)
f(x)=sinx+2cos(x/2)
f'=cosx-sin(x/2)=-2sin^2(x/2)-sin(x/2)+1=-(2sin(x/2)-1)(sin(x/2)+1)
令f'>0
0小于等于x<pi/3
令f'<0
pi/3<x小于等于pi/2
所以f(x)max=3（根号3）/2
所以
{sinx+cosy+cos(x-y)}max=3（根号3）/2
sinx+cosy+cos(x-y)大于等于0+0+0=0
所以sinx+cosy+cos(x-y)最值为3（根号3）/2和0
偏导数数也可以做

Answer 4

极值点的偏导数均为0，即：
cos(x) cos(y) cos(x-y)-sin(x) cos(y) sin(x-y)=0,
sin(x) cos(y) sin(x-y)-sin(x) sin(y) cos(x-y)=0
联立解得在定义域中两个解x=0,y=π/2 和 x=π/3, y=π/6
检验可得当 x=0,y=π/2时取得极小值0； x=π/3, y=π/6 时取得极大值 3sqrt(3)/2.

Answer 5

二元函数,极值条件为其偏导数同时为0
z=f(x,y)=sinx+cosx+cos(x-y)
dz/dx=cosx-sinx-sin(x-y)=0
dz/dy=-sin(x-y)*(-1)=sin(x-y)=0
可得 sin(x-y)=0, cosx-sinx=0
即 x-y=kπ,x=π/4+nπ
∴cos(x-y)=±1,sinx=cosx=±√2/2
二者均取负数时,函数取得最小值fmin=-√2-1
二者均取正数时,函数取得最大值fmin=√2+1